Найдите угол A C K.

К примеру так , если угол ABC=b , тогда CM=AH=AB*sinb тогда BM=AB(1-sinb) и BK = AB(1-sinb)/cosb (из треугольника BKM)

Тогда аксиоме Пифагора CK = AB(cos(b/2)-sin(b/2))

AK=AB((cosb+sinb-1)/cosb)

Тогда в треугольнике AKC

sinACK = AK*sin(BAC)/CK  =  AK*sin(b/2)/CK = (cosb+sinb-1)*cos(b/2)/(sqrt(2)*sinb*(cos(b/2)-sin(b/2))) = (sinb-2*sin^2(b/2))/(sqrt(2)*(sinb-2sin^2(b/2))) = sqrt(2)/2

ACK =45 гр  

2) докажем что CK биссектриса угла BKM, по свойству биссектрисы  

CM/BC=KM/BK=AH/AB  (из подобия треугольников ABH, BKM)  откуда  CM=AH означает  CK биссектриса,  откуда  ACK = 180-BAC-MCK = 180-BAC-(90-(BAH/2)) = 90-BAC+(BAH/2) =  ABC/2+(90-ABC)/2 = 45 гр