в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом C проведена высота CH.

Означает так. Чертим прямоугольный треугольник. 
Решение: Осмотрим треугольник ACH: Так как CH - высота,то этот треугольник прямоугольный. Как следует CH - катет и мы обретаем его по теореме Пифагора: CH = 6^-4^ = 36-16 = 20 = 25
Я предлагаю рассмотреть треугольник ABC и найти x через CB(не знаю можно ли так,как я решил,но я запишу)
AB=4+x
CB=AB-AC = (4-x)-6 = x-10x-20 
Разбираем квадратичное уравнение:
x-10x-20=0
D= 100+4*20=180 D= 65
 x_12 = 5+-35
x2 - не подходит,так как выходит отрицательным,поэтому BH = 5+35.
Ответ: 5+35