в правильной треугольной пирамиде sabc, sa = 15, bc = 8,

прошу вполне геометрическим методом

Больно числа неловкие

можно и без чисел

Ещё минутку

хорошо

В основании АВС проведём вышину АК. АК=а3/2=ВС3/2=43.
МЕ - перпендикуляр к ВС. МЕ - средняя линия тр-ка АСК, означает МЕ=АК/2=23.
РЕ - перпендикуляр к ВС. РЕ - средняя линия тр-ка SКС. SP=CP  РМ - средняя линия тр-ка SAC, означает треугольники SAK и РМЕ подобны с коэффициентом подобия k=АК/МЕ=2
SK=(SB-СK)=(15-4)=209.
SO - вышина пирамиды. Точка О - центр описанной окружности около правильного тр-ка АВС, означает R=АО=АК2/3=83/3.
В тр-ке SAO SO=(SA-AO)=(15-(83/3))=(611/3).
Площадь тр-ка SAK: S=AKSO/2=43611/(23)=2611.
АДSK.
Площадь того же тр-ка: S=АДSK/2  АД=2S/SK=4(611/209).
В тр-ке МРЕ МТРЕ.
АКМЕ, SAMP, SKPE, значит плоскости тр-ков SAE и МРЕ параллельны. АДSBC  МTSBC. 
Из подобия треугольников SAK и МРЕ МТ=АД/k=2(611/209) - это ответ.