Даны точки A (3; 6), B (2; 9), C (7; 8)

Найдём уравнение прямой АС. Для этого запишем уравнение прямой в общем виде: y = kx+b и подставим два раза координаты имеющихся точек:
6 = k*3+b
8 = k*7+b
Вычтя из второго уравнения 1-ое, получим:
2 = 4*k
k = 0,5, подставив это, допустим, во 2-ое, найдём b:
b = 8 - 7*0,5 = 4,5
Означает уравнение прямой АС: y = 0,5*x+4,5.
Повторим эти деяния для отрезка BD:
9 = 2*k+b
5 = 8*k+b
-4 = 6*k
k = -2/3
b = 9 - 2*(-2/3) = 10 1/3
Уравнение BD: y = -2/3*x + 10 1/3.
Сочиняем систему из обоих получившихся уравнений. Если система имеет решение - означает отрезки пересекаются (строго говоря, пересекаются содержащие их прямые, но если эта точка будет снутри отрезков, то и отрезки):
y = 0,5*x+4,5.
y = -2/3*x + 10 1/3
Вычитаем из первого 2-ое:
0 = 7/6*x - 5 5/6
x = (5 5/6 )* 6/7 = 35/6 * 6/7 = 5
Подставляем в первое, обретаем y: y = 0,5*5+4,5 = 7
Итак, мы получили координаты точки скрещения: (5;7). Теперь убедимся, что она лежит в середине обоих отрезков. Для этого сравним разности абсцисс и ординат этой точки и концов отрезков:
5-3=7-5
7-6=8-7
Отрезок АС проверен, продолжаем для BD:
5-2=8-5
9-7=7-5
Все равенства производятся, а значит точка вправду является серединой обоих отрезков. 
Спрашивайте, если что неясно.