P (-4;3;-2)Q (-8;3;2)R (4;6;-2)M (0;3;1)Найти:а) косинус угла меж векторами PQ и

Даны точки: P (-4;3;-2), Q (-8;3;2) , R (4;6;-2) , M (0;3;1)  

а) Вектор PQ-4;0;4,  PQ = (16+0+16) =42.

   Вектор PR8;3;0,  PR = (64+9+0) =73.

Cos = (-32 +0+0)/(4273) = -8/146  - 2/3.

б) Spqr = (1/2)*PQ*PR*Sin.  Sin =  (1-4/9) =  5/3.

   Spqr = (1/2)*42*73*5/3 = 2*730/3  2*27/3 18 ед .    

в) Vmpqr = (1/3)*Spqr*H.  Н - расстояние от точки М(0;3;1) до плоскости PQR.

Найдем вектор нормали плоскости    PQR:

i    j   k

-4  0  4  

8  3  0     = -12i  + 32j -12k  =gt; n-12;32;12.

Уравнение плоскости PQR:

-12(x-(-4))+32(y-3)+12(z-(-2)) = 0   =gt;  3x-8y-96-3z+30=0 Это общее уравнение плоскости с коэффициентами А=3, В=-8, С=-3, D=30.

расстояние от точки М(0;3;1) до плоскости PQR рассчитывается по формуле:

d = (Ax+By+Cz+D)/(A+B+C) = (0-24-3+30)/82 =3/82 1/3.

Vmpqr = (1/3)*18*1/3 = 2 ед