В сферу радиуса R вписана верная треугольная призма со стороной базы

Построение. Проведем вышину основания ВН. В правильном треугольнике это и медиана и биссектриса. Через центр основания J проведем прямую, параллельную стороне АС. Получим точки K и L на скрещении этой прямой с гранями АВ и ВС соответственно. Через центр сферы О проведем прямую, параллельную стороне АС. Восстановим перпендикуляры из точек К и L и на пересечении этих перпендикуляров с проведенной прямой получим на боковых гранях призмы точки M и N. Проведя через точки А и N, С и М получим полосы скрещения секущей плоскости и боковых граней призмы. Сечение призмы - равнобедренная трапеция.

Центр основания призмы J  разделяет высоту основания в отношении 2:1, считая от вершины В (свойство медианы). Вышина правильного треугольника ВН = (3/2)*а (формула), отрезок НJ=(1/3)*ВН = (3/6)*а. Из треугольника СОН найдем отрезок ОН по Пифагору:

ОН = (OC-HC) = (R-a/4) = ((4R-a))/2.

Тогда OJ = (OH-HJ) = ((3R-a)/3). Вышина призмы одинакова

2((3R-a)/3) (так как О - центр сферы).

Треугольники HOJ и HQG сходственны с k=OJ/QG =1/2. =gt; NM - средняя линия трапеции ASTC. NM = KL = (2/3)*a (из подобия треугольников АВС и KBL). Тогда ST=(1/3)*a.

Площадь сечения = площадь трапеции ASTC.

Sastc = (AC+ST)*HQ/2 = 2a(4R-a)/3.

Ответ: Sastc = 2a(4R-a)/3.

Для проверки: есть следствие из аксиомы об описанной призме: радиус сферы, описанной около правильной треугольной призмы с вышиной   h   и ребром основания   a   равен R=(a/3+h/4). Подставив найденную вышину призмы, получим R=R.