В треугольнике АВС угол А тупой, АА1 - вышина треугольника, Н

 Вышина из острого угла С проходит вне тупоугольного треугольника АВС и пересекает продолжение стороны ВА в т.К. По условию ВС - поперечник полуокружности, угол ВКС прямой (ВК - высота), следовательно, вписанный.  Прямоугольные треугольники НАК и НА1С сходственны по общему углу Н. Из их подобия следует НК:НА1=АН:НС. АННА1=НКНС Дополним  полуокружность до полной и продлим НА1 до пересечения с ней в точке Р.

По аксиоме о секущих НМНР=НКНС. НМ=АН-АМ а  АМ=МА1-АА1=12-8=4. НМ=АН-4. Хорда МР перпендикулярна поперечнику ВС, потому делится им напополам. А1Р=МА1=12, и  АР=АА1+А1Р=20.  Следовательно, НКНС=НМНР=(АН-4)(АН+20), из чего получим НКНС=АН+16 АН-80  Так как АА1=8, то  НА1= 8+АН. Подставив отысканное в АННА1=НКНС , получим  АН(8+АН)=АН+16 АН-80, откуда 8АН+АН=АН+16АН-80. 8АН=80, АН=10.