Даны верхушки треугольной пирамидыA(-4;-7,8), B(-1,10;-2), C(-3;-6,7), D(-6;1,7).Отыскать: 1)

Даны верхушки треугольной пирамиды

A(-4;-7,8), B(-1,10;-2), C(-3;-6,7), D(-6;1,7).

1) Длина ребра AD = (-6-(-4)) + (1 - (-7)) + (7 - 8)) = (4 + 64 + 1) = 69.

2) Объем пирамиды ABCD.

Определяем координаты векторов АВ и АС:

АВ = (3; 17; -10),   АС = (1; 1; -1). Векторное творение (АВ х АС) одинаково:

  x      y       z        x        y          =  -17x - 10y + 3z + 3y + 10x - 17z =

 3       17     -10     3       17           = - 7x - 7y - 14z  =  (-7; -7; -14).  

 1        1        -1      1         1 =

Определяем координаты вектора АД = (-2; 8; -1).

Смешанное творенье (АВ х АС) х АД = -7*(-2) - 7*8 - 14*(-1) = 14 -56 + 14 = -28. Объём пирамиды равен V = (1/6)*-28 = 28/6 = 14/3 куб.ед.

3) Угол между ребрами AC и AD через скалярное произведение векторов.  

АС = (1; 1; -1), АС = 3.  АД = (-2; 8; -1), АД = (4 + 64 + 1) = 69.

cos = (1*(-2)+1*8+(-1)*(-1))/(3*69) = 7/(323) 0,486534.

= arc cos 0,486534 = 1,062679 радиан = 60,887 градуса.

4) Уравнение плоскости BCD.

Для составления уравнения плоскости используем формулу по трём точкам с внедрением матрицы:

x - xВ y - yВ z - zВ

xС - xВ yС - yВ zС - zВ

xД - xВ yД - yВ zД - zВ  = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - (-1) y - 10 z - (-2)

(-3) - (-1) (-6) - 10 7 - (-2)

(-6) - (-1) 1 - 10 7 - (-2)    = 0

x - (-1) y - 10 z - (-2)

-2         -16            9

-5             -9            9     = 0

 x - (-1)  -169-9(-9)  -  y - 10  (-2)9-9(-5)  +  z - (-2)  (-2)(-9)-(-16)(-5)  = 0

(-63) x - (-1)  + (-27) y - 10  + (-62) z - (-2)  = 0

 - 63x - 27y - 62z + 83 = 0.

5) Уравнение прямой AC: (x + 4)/1 = (y + 7)/1= (z - 8)/-1.

6) Острый угол меж ребром AD и гранью ABC.

Уравнение прямой AД: (x + 4)/-2 = (y + 7)/8= (z - 8)/-1.

Уравнение плоскости AВС:

x+4       y+7    z-8

3      17   -10

1       1            -1       = 0

(x+4)(17(-1)-1(-10)) - (y+7)(3(-1)-1(-10)) + (z-8)(3*1-1*17) = -7x - 7y - 14z + 35 = 0  

Упростим выражение: -x - y - 2z + 5 = 0  

Найдем угол меж прямой  (x + 4)/-2 = (y + 7)/8= (z - 8)/-1  и плоскостью

- x - y - 2z + 5 = 0.

Устремляющий вектор прямой имеет вид: s =  -2; 8; -1  

Вектор нормали плоскости имеет вид: q =  -1; -1; -2.  

Вычислив угол меж векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:

sin = cos =   s q / s q  =

=   sx qx + sy qy + sz qz (sx + sy + sz) (qx + qy + qz)  =

=   (-1) (-2) + (-1) 8 + (-2) (-1) /(((-1) + (-1) + (-2)) ((-2) + 8 + (-1)))  =

=   2 - 8 + 2 /((1 + 1 + 4) (4 + 64 + 1))  =   4/(6 69)  =

=   4 /414  =   246/ 69   0,196589.

= 11,33758

7) Уравнение высоты , опущенной из верхушки D( -6; 1; 7) на грань ABC.

Прямая, проходящая через точку Д(x0;y0;z0) и перпендикулярная плоскости Ax + By + Cz + D = 0 имеет направляющий вектор (A;B;C)

Уравнение плоскости AВС: -x - y - 2z + 5 = 0.

(x - xo)/A = (y - yo)/B = (z - zo)/C. Подставим данные в формулу и получим уравнение вышины ДО:

(x +6)/-1 = (y - 1)/-1 = (z - 7)/-2.