Расстояние меж центрами окружностей, вписанной и вписанной около прямоугольного

Расглядим ОЕН: по т. Пифагора

ОН = ОЕ - ЕН = (5) - 2 = 5 - 4 = 1

ОН = 1

Пусть СО = ОА = х , тогда по свойству отрезков касательных  СН = СМ = СО + ОН = х + 1 , АН = АК = ОА - ОН = х - 1 , ВМ = ВК = 2

Осмотрим АВС:  АС = 2х , ВС = СМ + ВМ = х + 1 + 2 = х + 3 , АВ = АК + ВК = х - 1 + 2 = х + 1

По теореме Пифагора:

АС = ВС + АВ

( 2х ) = ( х + 3 ) + ( х + 1 )

4х = х + 6х + 9 + х + 2х + 1

2х - 8х - 10 = 0

х - 4х - 5 = 0  

D = (-4) - 41(-5) = 16 + 20 = 36

x = (4-6)/2 = -2/2 = - 1 - не подходит по смыслу задачи

x = (4+6)/2 = 10/2 = 5

Означает, АС = 2х = 25 = 10

ОТВЕТ: 10

Пусть d - расстояние меж центрами вписанной и описанной

окружностей , r и R - их радиусы , тогда имеет место формула

Эйлера :  d = R - 2Rr  ,  подставляя в нее данные

задачки , получим :  5 = R - 4R    либо   :

R - 4R - 5 =0      R =5 либо R = -1 ,   2-ой корень

сторонний R = 5  , гипотенуза одинакова поперечнику описанной

окружности , то есть одинакова 10

Ответ :  10

   Еще одно решение :