Две стороны треугольника равны 14 и 22. Медиана, проведенная к третьей

Пусть имеем искомый треугольник ABC, в котором AB=14, BC=22. Из верхушки B проведем медиану BM, BM=12. Нужно отыскать величину стороны AC.

Обозначим АС=2x, тогда AM=CM=x, т.к. M - середина AC ( BM - медиана). По свойству медианы, она разделяет треугольник на два равнозначащих треугольника (треугольники, у которых одинаковы площади). Так как BM - медиана в треугольнике ABC, то S(ABM)=S(CBM) по вышеописанному свойству.

1). По формуле площади треугольника Герона имеем:

S(ABM)=p*(p-AB)*(p-BM)*(p-AM), где p - полупериметр треугольника ABM;

p=(AB+BM+AM)/2=(14+12+x)/2=7+6+0,5*x=13+0,5*x;

Тогда, S(ABM)=(13+0,5*x)*(13+0,5*x-14)*(13+0,5*x-12)*(13+0,5*x-x)=(13+0,5*x)*(0,5*x-1)*(0,5*x+1)*(13-0,5*x);

Используя формулу разности квадратов, можем привести к последующему виду:

S(ABM)=(169-0,25*x)*(0,25*x-1);

2). Подобно, S(CBM)=p*(p-MB)*(p-MC)*(p-BC), где p - полупериметр треугольника CBM;

p=(MB+MC+BC)/2=(12+x+22)/2=6+11+0,5*x=17+0,5*x;

Тогда, S(CBM)=(17+0,5*x)*(17+0,5*x-12)*(17+0,5*x-x)*(17+0,5*x-22)=(17+0,5*x)*(0,5*x+5)*(17-0,5*x)*(0,5*x-5);

Используя формулу разности квадратов, можем привести к следующему виду:

S(CBM)=(289-0,25*x)*(0,25*x-25);

3). Т.к. по вышедоказанному S(ABM)=S(CBM), то подставив приобретенные вычисления, получаем:

(169-0,25*x)*(0,25*x-1)=(289-0,25*x)*(0,25*x-25);

Возведем обе части в квадрат:

(169-0,25*x)*(0,25*x-1)=(289-0,25*x)*(0,25*x-25);

42,25*x-0,0625*x-169+0,25*x=72,25*x-0,0625*x-7225+6,25x;

42,5*x-169=78,5x-7225;

36*x=7056;

x=196;

x=14, но так как x - это величина стороны, то (-14) - посторонний корень;

4). АС=2x=2*14=28, что и требовалось отыскать;

Ответ: AC=28.