Задание 83. Сторона АС треугольника АВС разбита на три равных отрезка

I. 1). В треугольнике ABC осмотрим треугольник ABE. В треугольнике ABE по условию AD=DE, т.е. т. D - середина стороны AEотрезок BD в треугольнике ABE является его медианой. По свойству медиана разделяет треугольник на два равнозначащих треугольника (равновесные треугольники - треугольники с одинаковой площадью). Т.е. имея медиану BD, получаем, что S(ABD)=S(EBD).

2). Аналогично в треугольнике ABC осмотрим треугольник CBD. В треугольнике CBD по условию DE=EC, т.е. т. E - середина стороны DCотрезок BE в треугольнике CBD является его медианой. По свойству медиана разделяет треугольник на два равновесных треугольника. Т.е. имея медиану BE, получаем, что S(CBE)=S(EBD).

3) Объединив первый и второй пункты, получаем:

S(ABD)=S(EBD);

S(CBE)=S(EBD);

Отсюда следует, что S(EBD)=S(ABD)=S(CBE), что и требовалось доказать.

II. Т.к. S(ABC)=S(ABD)+S(EBD)+S(CBE), а эти три площади одинаковы (мы обосновали это в предшествующей доли задачи), то S(ABC)=3*S(ABD)S(ABD)=1/3*S(ABC);

S(ABE)=S(ABD)+S(EBD)=2*S(ABD) (т.к. площади равны);

Если S(ABC)=27, то S(ABD)=27/3=9, а S(ABE)=2*9=18 см;

Если S(ABC)=21, то S(ABD)=21/3=7, а S(ABE)=2*7=14 см;

Ответ: 1). Подтверждено; 2). а). S(ABE)=18 см, б). S(ABE)=14см.