Точка Р принадлежит стороне АС треугольника АВС так , что amp;lt;ВАС=РВС,

Поместим треугольник АВС точкой А в начало координат, стороной АС по оси Ох. Координаты точек А, Р и С знамениты: А(0; 0), Р(1; 0), С((9; 0).

Неведомые координаты точки В примем (х; у).

Из точки В опустим перпендикуляр ВД на АС.

Угол РВС состоит из 2-ух углов: РВД и ДВС.

tg(РВД) = (x - 1)/y, tg(ДВС) = (9 - x)/y.

Находим тангенс суммы углов.

tg(РВД) =  (((x - 1)/y) + ((9 - x)/y))/(1 - ((x - 1)/y)*((9 - x)/y)) =

             =  (x - 1 +9 - x)/(y(у - (x - 1)*(9 - x)/y).

После приведения сходственных и сокращения получаем:

tg(РВД) = 8у/(у -  (x - 1)*(9 - x).

Так как по заданию угол РВД равен углу ВАС тангенс которого равен

у/х, то приравняем: 8у/(у -  (x - 1)*(9 - x) = (у/х).

По свойству пропорции после сокращения на у получаем:

8х = у - 9х + 9 + х - х  либо х - 18х + 9 + у = 0.

Выделим полный квадрат по х: (х - 18х + 81) - 81 +9 + у = 0.

(х - 9) + у = 72.

Получили уравнение окружности с центром в точке С и радиусом R = 72 = 62.

То есть, радиусом является разыскиваемая сторона ВС.

Ответ: ВС = 62 8,48528.