решите 22 пожалуйста

Дано: A(-5, 1), B(8,-2), C(1, 4)

а) Запишем уравнение стороны AB в каноническом виде

В нашем случае x, y - координаты точки A и x,y - координаты точки B

- каноническое уравнение прямой, проходящей через точку A(-5,1) и B(8, -2)

Можем написать это же уравнение только теснее в общем виде, перемножив члены по свойству пропорций:

б)

Точка H принадлежит прямой AB, как следует задачка сводится к тому, чтоб найти уравнение прямой, которая проходит через точку C перпендикулярно AB

Перепишем уравнение прямой AB: 3x + 13y + 2 = 0

Коэффициенты при x и y представляют собой подходящие координаты обычного вектора этой прямой.

Данный вектор ортогонален AB как следует, он является обращающим вектором для искомой прямой.

Ровная проходит через точку C(1, 4).

Зная координаты обращающего вектора и точку, через которую проходит прямая, мы можем записать уравнение разыскиваемой прямой в каноническом виде

в)

точка M - середина BC.

Следовательно координаты точки M одинаковы:

Запишем уравнение медианы AM:

г)

Для того, чтоб найти точку скрещения, составим систему из двух уравнений: уравнения медианы AM и вышины CH

Точка пересечения медианы AM и вышины CH: (4/13, 1)

д)

Так как ровная параллельна AB их обычные векторы будут пропорциональны.  

И так как прямая проходит через точку C(1, 4) окончательное уравнение примет вид:

3(x - 1) + 13(y - 4) = 0

3x - 3 + 13y - 52 = 0

3x + 13y - 55 = 0 - разыскиваемое уравнение

е)

Расстояние от точки C до прямой AB одинаково длине перпендикуляра, опущенного из верхушки C на прямую AB. Этот перпендикуляр есть ни что другое, как вышина CH.

Найдём точку H как скрещение вышины CH и прямой AB

Решив данную систему обретаем координаты пересечения:

Сейчас найдём вектор HC:

Искомое расстояние равно длине данного вектора: