В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 сторона основания одинакова 23, а боковое

Эту задачу можно решить 2-мя методами:

1) геометрическим,,

2) векторным.

1) Проведём сечение АА1М.

Отрезок А1М как медиана и высота правильного треугольника равен:

А1М = 23*cos 30 = 23*(3/2) = 3. Тогда А1Т = 3/2 = 1,5.

Угол меж плоскостью ВСТ и прямой АТ - это угол меж АТ и её проекцией на плоскость ВСТ.

Проекция АТ лежит на полосы пересечения плоскостей ВСТ и АА1М.

Это линия ТР. Точка Р лежит на стороне ВС в её середине.

Отрезки АТ и ТР одинаковы.

Искомый угол АТР  равен 2arc tg (3/2)/5 = 2arc tg (3/10) = 0,5829 радиан = 33,3985.

2) Поместим призму ребром АВ по оси Оу, точка А - начало координат. Ребро АА1 по оси Oz.

В(0; 23; 0), С(3; 3; 0), Т(0,75; 33/4; 5), А(0; 0; 0).

Уравнение плоскости ВСТ по трём точкам определяем так:

Пусть (х1, х2, х3), (у1, у2, у3) и (z1, z2, z3) координаты первой, 2-ой и третьей точки соответственно. Уравнение получаем из выражения:               (x-x1)*(у2-y1)*(z3-z1) (x-x1)*(z2-z1)*(y3-y1) (y-y1)*(x2-x1)*(z3-z1) + (y-y1)*(z2-z1)*(x3-x1) + (z-z1)*(x2-x1)*(y3-y1) (z-z1)*(y2-y1)*(x3-x1) = 0.

Подставив координаты точек, обретаем уравнение плоскости ВСТ:

x + 3y + 0,6z - 6 = 0.

Вектор АТ равен координатам точи Т: АТ(0,75; 33/4; 5).

Синус угла меж прямой и плоскостью равен:

sin = 1*0.75+3*(33/4)+0*5/((1+(3)+0,6)*(0.75+(33/4)+5)) =

        = 0,550459.  

Угол равен 0,5829 радиан  либо 33,3985 градуса.