могут ли стороны треугольника относиться как: 1 : 1: 2

Пойдем от противного.

Пусть есть такой треугольник АВС. Тогда пусть большая сторона АВ будет 2х, а наименьшие АС и ВС, исходя из отношения - по х любая.

Для любого треугольника осуществляется условие, что любая сторона меньше суммы других 2-ух.

Т. е.

АВlt;ВС+АС

ВСlt;АВ+АС

АСlt;АВ+ВС

Проверяем:

2lt;1+1 ложь

1lt;2+1 правда

1lt;2+1 истина

Первое неравенство не соотвествует предположению, как следует, такового треугольника не существует.