Доказательство аксиомы Симсона

Прямая Симсона треугольника ABC

Ровная Симсона  ровная, проходящая через основания перпендикуляров на стороны треугольника из точки на его описанной окружности. Её существование опирается на аксиому Симсона.

Ровная Симсона оснований перпендикуляров, лежащих на продолжениях сторон. Индекс обозначает сторону, на которую перпендикуляр опущен.

Теорема Симсона

ПравитьОснования перпендикуляров, опущенных из произвольной точки

P

\displaystyle P

lt;img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="P"gt; описанной окружности треугольника

A

B

C

\displaystyle ABC

lt;img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e55b44cfd965fbdc7a328d5db8a35a619db0971" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.273ex; height:2.176ex;" alt="ABC"gt; на его стороны либо их продолжения, лежат на одной прямой. Эта ровная именуется прямой Симсона.

Правильно и оборотное утверждение: если основания перпендикуляров, опущенные из точки

P

\displaystyle P

lt;img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="P"gt; на стороны треугольника

A

B

C

\displaystyle ABC

lt;img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e55b44cfd965fbdc7a328d5db8a35a619db0971" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.273ex; height:2.176ex;" alt="ABC"gt; либо их продолжения, лежат на одной прямой, то точка

P

\displaystyle P

lt;img src="https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4dc73bf40314945ff376bd363916a738548d40a" class="mwe-math-fallback-image-inline" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.745ex; height:2.176ex;" alt="P"gt; лежит на описанной окружности треугольника.

История

Править