Задание 1.Точка K удалена от каждой из вершин квадрата ABCD, сторона

1. а)  Наклонные КА,КВ,КС и КD одинаковы (дано), значит равны и их проекции на плоскость АВСD. Как следует, АО=ВО=СО=DO =gt; точка О - точка скрещения диагоналей квадрата, то есть его центр. Что и требовалось обосновать.

б) По Пифагору АС=(AD+DC) = 144 =12.  ОС = 6.

КО=(КС-ОC) = (100-36) = 8.

2. Проекция точки М на плоскость АВС - центр О вписанной в треугольник АВС окружности, так как проекции одинаковых наклонных одинаковы.  Радиус вписанной окружности найдем по формуле: r = S/p, где S - площадь треугольника, а р - его полупериметр. У нас р = (32+32+22)/2 = 42.

По формуле Герона S = (p*(p-a)(p-b)(p-c). У нас  

S= (42*2*2*22) = 42. Тогда r = 42/42 = 1.

В прямоугольном треугольнике СОН катет ОН=1, катет СН=АС/2 = 2. Тогда по Пифагору ОС = (1+2) = 3.

Тангенс угла МСО  (а это и есть искомый угол, так как угол меж наклонной прямой и плоскостью равен углу меж этой наклонной и ее проекцией на плоскость) равен отношению противолежащего катета к прилежащему:

МО/ОС = 1/3. А это угол, одинаковый 60.

Ответ: угол наклона прямой МС к плоскости треугольника равен 60