В правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при ребре основания равен альфа.

Двугранный угол при ребре основания - это угол наклона боковой грани к основанию. Он равен плоскому углу меж апофемой и её проекцией на основание.

Примем сторону основания за а. Тогда проекция апофемы одинакова (а/2).

Отсюда апофема А одинакова (а/2)/cos =a/(2cos ).

Возведём в квадрат: А = а/(4cos ).

С иной стороны, апофема как вышина боковой грани одинакова:

А =  L - (a/2).

Приравняем а/(4cos ) =  L - (a/2)

Отсюда получаем  а = (4Lcos )/(1 + cos ).

Вышина Н пирамиды равна:

H = (a/2)*tg =  (2Lcos )*tg /(2(1 + cos )).

Объём пирамиды равен:

V = (1/3)SoH = (1/3)*(4Lcos )/(1 + cos )*((2Lcos )*tg /(2(1 + cos ))).