Составить уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (2;-3;5) перпендикулярно прямой

Нормальные векторы плоскостей, которые задают прямую а. одинаковы:

n1 = (2; 1;-2) , n2 = (1; 1; 1).

Тогда устремляющим вектором  прямой а будет   векторное творение векторов  n1 и n2.

a b =  

i j k

ax ay az

bx by bz

 =  

i j k

2 1 -2

1 1 1

 = i (11 - (-2)1) - j (21 - (-2)1) + k (21 - 11) =  

 = i (1 + 2) - j (2 + 2) + k (2 - 1) = 3; -4; 1.

Таким образом, вектор

n =  3; -4; 1     будет обычным вектором плоскости, перпендикулярной к прямой  a.

Запишем разыскиваемое уравнение плоскости:

3(x   2)  + (-4)(y + 3)  + 1(z  5)  

=  3x 6 4y 12 + z 5 = 3x 4y + z 23 = 0.

Ответ: 3x 4y + z 23 = 0.