В треугольнике ABC на гранях AB и AC выбраны точки M

Для решения нам нужно отыскать, какую часть от АС сочиняют NK  и АК

Т.К. МК ВС, то треугольники АМК и АВС сходственны по равенству углов при параллельных МА и ВС и секущих АВ и АС. 

Из подобия следует отношение: 

 АК:КС=АМ:МВ=3:2, т.е. АК=3/5, а КС=2/5 стороны АС

По условию АN:NC=4/5, означает, АС=4+5=9 долей. 

АN= 4/9 АС

Тогда NK=AK-AN=3/5-4/9=7/45

По т.Менелая 

(АМ/ВМ)*(ВО/ОN)*(NK/KA)=1

(3/2)*(BO/OK)*[(7/45)/(3/5)]=1

(7/18)*(BO/ON)=1

(BO/ON)=1:(7/18)

BO/ON=18/7