сформулируйте и обоснуйте аксиому о биссектрисе угла

Ответ:

Сформулируем аксиому о биссектрисе угла:

Неважно какая точка биссектрисы хоть какого угла (не считая развернутого) является равноудаленной от сторон данного угла.

Докажем аксиому.

Доказательство.

Пусть точка M является случайной точкой биссектрисы неразвернутого угла A.

Проведем к граням угла А перпендикулярные прямые MF и MG.

Таким образом, мы получим два прямоугольных треугольника AMF и AMG, которые являются равными меж собой по стороне (гипотенузе) и острому углу (сторона AM является общей гипотенузой, а углы одинаковы по свойству биссектрисы сообразно условию).

Означает, прямые MF = MG.

Теорема подтверждена.

Сформулируем также оборотную теорему:

Любая точка, которая лежит в середине неразвернутого угла и равноудалена от сторон этого угла, принадлежит его биссектрисе.

Докажем данную аксиому.

Подтверждение.

Возьмем точку Q, лежащую в середине неразвернутого угла С и равноудаленную от его сторон. Тогда перпендикулярные прямые QH и QK, проведенные к граням угла, одинаковы.

Докажем, что ровная CQ является биссектрисой угла С.

Осмотрим полученные прямоугольные треугольники СQH и CQK. У них сторона CQ является общей, а стороны QH и QK одинаковы сообразно условию. Таким образом, данные треугольники будут равными по катету и гипотенузе. Так как у одинаковым треугольников и подходящие углы также одинаковы, то получаем, что ровная CQ вправду будет биссектрисой угла С.

Теорема доказана.

Объяснение: