Геометря 10 клас ( ТЕРМНОВО ЛЕГКО )

Точка М равноудалена от точек А(1;0;0), В(0;1;0) и С(0;0;1), то есть расстояния (модули векторов) одинаковы: AM=BM=CM. Если одинаковы модули, то одинаковы и квадраты модулей. Найдем их по знаменитой формуле:

AM=(Xm-Xa)+(Ym-Ya)+(Zm-Za) = (Xm-1)+Ym+4. (1) Подобно:

BM = (Xm-Xb)+(Ym-Yb)+(Zm-Zb) = Xm+(Ym-1)+4. (2)

CM = (Xm-Xс)+(Ym-Yс)+(Zm-Zс) =Xm+Ym+(2-1) = Xm+Ym+1. (3).

Приравниваем (2) и (3): Xm+Ym+1 = Xm+Ym- 2Ym+5 =gt;

2Ym = 4, Ym =2.

Приравниваем (1) и (2): Xm-2Xm+1+Ym+4 =Xm+Ym-2Ym+1+4. =gt;

Xm = Ym.

Значит координаты искомой точки М(2;2:2).

2-ой вариант (см. набросок).

Если же необходимо решать через уравнения плоскостей и прямых, то:

Соединив точки А, В и С, получим равносторонний треугольник АВС, так как его стороны (расстояния меж данными точками) одинаковы 2 (по приведенной выше формуле). Центр этого треугольника - центр описанной (вписанной) окружности. Он равноудален от точек А, В и С в плоскости треугольника. Тогда точка М должна лежать на пересечении перпендикуляра к центру треугольника АВС и плоскости , параллельной плоскости XY

Уравнение плоскости : Z - 2 = 0 (так как точка М лежит в данной плоскости и, как следует, плоскость параллельна плоскости XY. Либо в общем виде:

0*x+0*y+z -2 =0, то есть коэффициенты в этом уравнении одинаковы:

А=0, В=0, С=1 и D= -2.

Найдем уравнение плоскости АВС (точки А(1;0;0), В(0;1;0) и С(0;0;1)) и составим уравнение плоскости по формуле:

X-Xa Xb-Xa Xc-Xa X-1 -1 -1

Y-Ya Yb-Ya Yc -Ya =0 Либо Y-0 1 0 = 0

Z-Za Zb-Za Zc-Za Z-0 0 1

Раскрываем определитель по первому столбцу:

1 0 -1 -1 -1 -1

(X-1)* 0 1 - Y* 0 1 + Z* 1 0 = X - 1 +Y+ Z = 0

Получили уравнение x + y + z -1 =0 c коэффициентами

A= 1, B= 1, C= 1, D= -1.

Сейчас найдем координаты центра треугольника АВС.

Так как треугольник АВС равносторонний (по координатам вершин), это центр описанной (вписанной) окружности, лежащий на скрещении медиан треугольника (или, что тоже самое, в точке, разделяющей медиану в отношении 2:1, считая от верхушки).

Найдем координаты конца (точки Н) медианы АН.

Это середина отрезка ВС: Xh = (Xb+Xc)/2 = 0. Yh = (Yb+Yc)/2 =0,5. Zh = (Zb+Zc)/2 = 0,5.

Найдем координаты точки О, делящей отрезок АН в отношении 2:1 (k=2), считая от точки А:

Xo = (Xa+kXh)/(1+k) = (1+0)/3 = 1/3.

Yo=(Ya+kYh)/(1+k) = (0+1)/3 = 1/3.

Zo = (Za+kZh)/(1+k) = (0+1)/3 = 1/3.

Итак, есть точка О(1/3;1/3;1/3), через эту точку надо провести перпендикуляр к плоскости АВС и отыскать координаты точки скрещения этого перпендикуляра с плоскостью . Это и будет искомая по условию точка.

Найдем уравнение прямой, проходящей через точку О перпендикулярно плоскости АВС. Уравнение плоскости АВС: x+y+ z - 1 =0. Обычный вектор этой плоскости: n1;1;1. Дальше принимаем этот вектор за обращающий вектор разыскиваемой прямой, проходящей через точку О и записываем ее уравнение в каноническом виде:

(x-1/3)/1=(y-1/3)/1=(z-1/3)/1.

Осталось найти координаты точки пересечения прямой и плоскости .

Проще всего это делается с подмогою параметрических уравнений прямой:

x =x1+mt, y=y1+nt z=z1+pt, где m=1, n=1, p=1 (соответствующие знаменатели в уравнении прямой). Подставляем эти значения в уравнение плоскости

(Z - 2 = 0). В нашем случае это только значение

z=z1+pt = 1/3+t:

1/3+t -2 = 0 =gt; t = 5/3 . Тогда координаты точки скрещения прямой и плоскости : х=1/3 +5/3 = 2. y = 2 и z = 2.

Итак, точка на плоскости , равноудаленная от точек А, В и С - это точка М(2;2;2).

О проекте

Геометря 10 клас ( ТЕРМНОВО ЛЕГКО )

Добро пожаловать!