Вычислить косинумы внутренних двугранных углов тетраэдра,интеллигентного плоскостями координат

Даны точки A(2;1;8),B(-1;3;4) и С(3;0;12).

Обретаем уравнение плоскости через эти точки.

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 2 y - 1 z - 8

(-1) - 2 3 - 1 4 - 8

3 - 2 0 - 1 12 - 8

 = 0

x - 2   y - 1         z - 8

-3            2           -4

1       -1           4

 = 0

x - 2  24-(-4)(-1)  -  y - 1  (-3)4-(-4)1  +  z - 8  (-3)(-1)-21  = 0

4 x - 2  + 8 y - 1  + 1 z - 8  = 0

4x + 8y + z - 24 = 0.

Переведём это уравнение в уравнение в "отрезках".

(x/(24/4)) + (y/(24/8) + (z/24) = 1.

(x/6) + (y/3) + (z/24) = 1.

Получили вершины тетраэдра:

А(6; 0; 0), В(0; 0; 0), С(0; 3; 0) и Д(0; 0; 24).

Обретаем длины перпендикуляров из начала координат (точка В) к отрезкам АС, АД и СД.

АС = (3 + 6) = (9 + 36) = 45 = 35.

ВК = (3*6)/(35) = 6/5.

АД = 6 + 24) = (36 + 576) = 612 = 617.

ВМ = (6*24)/(617) = 24/17.

СД = (3 + 24) = (9 + 576) = 585 = 365.

ВЕ = (3*24)/(365) = 24/65.

Находим наклонные отрезки ДК, СМ и АЕ.

ДК = (24 + ВК) = (576 + (36/5)) = (2916/5).

СМ = (3 + ВМ) = (9 + (576/17)) = (729/17).

АЕ = (6 + ВЕ) = (36 + (576/65)) = (2916/65).

Сейчас можно определить косинусы внутренних двугранных углов тетраэдра,интеллигентного плоскостями координат и плоскостью,проходящей через точки A(2;1;8),B(-1;3;4) и С(3;0;12) .

Косинус угла ДКВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОУ) равен: cos(ДКВ) = ВК/КД = (6/5)/((2916/5)) = 6/2916 = 1/9.

Косинус угла СМВ (наклона плоскости АВС к координатной плоскости ХОZ) равен: cos(СМВ) = ВМ/СМ = (24/17)/((729/17)) = 6/2916 = 8/9.

Косинус угла ВЕА (наклона плоскости АВС к координатной плоскости УОZ) равен: cos(ВЕА) = ВЕ/АЕ = (24/65)/((2916/5)) = 24/2916 = 4/9.