Острый угол ромба равен 60 градусов.В него вписан квадрат.Найдите соотношение периметров

Вписанный квадрат имеет диагонали под углом 45 градусов к диагоналям ромба.

Примем сторону ромба за 1, а сторону вписанного квадрата за х.

Осмотрим треугольник из половин диагонали ромба и диагонали квадрата. Известна сторона и 2 угла.

Сторона (это половина диагонали ромба) одинакова 1*cos(60/2) = 1*(3/2)  = 3/2. Угол против этой стороны равен 180 - 30 - 45 = 105 градусов.

Половина диагонали квадрата одинакова х2/2.

По теореме синусов:

(х2/2)/sin 30 = (3/2)/sin 105.

(х2/2)/(1/2) = (3/2)/sin 105.

Отсюда находим значение стороны вписанного квадрата:

х = 3/(22sin 105) = 0,634.

Ответ: соотношение периметров ромба и квадрата одинаково

Рр/Рк = 4/(4*0,634) = 1,57735.

Можно перейти к радикалам:

sin 105 = sin (180 - 105) = sin 75 = sin (30 + 45) = (1/2)*(2/2) + (3/2)*(2/2) = (2/4)(1 + 3).

Отсюда х = 3/(1 + 3).

Тогда ответ:  Рр/Рк = 4/(43/(1 + 3)) = (1 + 3)/3.

Ответ:

Изъяснение: