Гипотенуза прямоугольного треугольника с, а сумма синусов его острых углов q.

Пусть АВС прямоугольный треугольник с гипотенузой ВС = с.
Площадь этого треугольника одинакова:
S = * AB*AC.
Синус острого угла в прямоугольном треугольнике есть отношение обратного катета к гипотенузе. С учётом условия распишем:
sinB + sinC = AC/c + AB/c = (AC + AB)/c = q.
Как следует,
AC + AB = q*с. (1)
В то же время, по аксиоме Пифагора:
(AB)^2 + (AC)^2 = c^2.
(AB)^2 + (AC)^2 + 2*AB*AC - 2*AB*AC = (AC + AB)^2/q^2.
(AC + AB)^2 - 2*AB*AC = (AC + AB)^2/q^2.
Подставим (1):
(qc)^2 - 2*AB*AC = (qc)^2/q^2.
AB*AC = ((qc)^2 - (qc)^2/q^2)/2 = (c^2(q^2-1))/2.
S = * AB*AC = (c^2*(q^2-1))/4.