Дано: Треугольник ABC, AD- биссектриса, AB= 4см, АС= 8см, ВС= 6см,

Пусть дан треугольник ABC, AD биссектриса,
Поскольку по свойству биссектрисы, она разделяет обратную сторону на части, пропорциональные прилегающим граням, то ВD : CD = АВ : АС. Обозначим длину отрезка ВD = х см, так как, по условию, AB = 4 см, АС = 8 см, ВС = 6 см, то CD = 6 х, получим пропорцию: х : (6 х) = 4 : 8; х = 2 (см); 6 х = 6 2 = 4 (см) либо ВD = 2 см; CD = 4 см. Чтоб найти отношение площадей S(ABC) : S(ABD), воспользуемся формулой Герона.
Обозначим длины сторон треугольника ABC знаками a, b и c, полупериметр р = (a + b + c) : 2, р = (4 + 8 + 6) : 2 = 9 (см), тогда S(ABC)^2 = р(р - а)(р - b)(р - с), S(ABC)^2 = 9 5 1 3 = 135.
Найдём длину биссектрисы: АD^2 = АВ АС ВD CD = 4 8 2 4 = 24; АD = (24)^(1/2).
Для треугольника ABD обозначим длины сторон буквами a, m и d, тогда р2 = (a + m + d) : 2, р2 = (4 + (24)^(1/2) + 2) : 2, S(ABD)^2 = р2(р2 - а)(р2 - b)(р2 - d), S(ABD)^2 = 15. Получим, S(ABC) : S(ABD) = 3. Ответ: ВD = 2 см; CD = 4 см; S(ABC) : S(ABD) = 3.