В трапеции АВСД с основаниями АД и ВС диагонали пересекаются в

Проведем вышины треугольников OK- вышина треугольника BOC, ON - высота треугольника AOD. NK - вышина трапеции.
Осмотрим треугольник BOC:
S1 = 1/2*BC*OK ;
Выразим OK, получим:
OK = 2*S1/BC ;
Рассмотрим треугольник AOD:
S2 = 1/2*AD*NO ;
NO = 2*S2/AD ;
Треугольники AOD и BOC, lt;A=lt;C, lt;D=lt;B - как внутренние накрест лежащие. lt;AOD=lt;BOC. Значит треугольники подобные по трем углам.
AD^2/BC^2=S1/S2.
AD=2*BC/3
Подставим это в выражение для NO:
NO= 2*S2/(2*BC/3) = 3*S2/BC;
NK=NO+OK=(3*S2/BC)+( 2*S1/BC )=( 3*S2+2S1)/BC;
Найдем площадь трапеции:
S=(a+b)*h/2;
S= (AD+BC)*NK/2 = (((2*BC+3BC)/3)*( 3*S2+2S1)/BC)/2=(2*5*BC/3)*(12+18)/BC=100 см^2.
Ответ: S=100 см^2.