1. Треугольники ABC и MNK сходственны. Их сходственные стороны относятся как

1. Пусть площадь треугольника ABC S1, площадь треугольника MNK S2. Знаменито, что S1gt;S2 на 25 см кв., то есть S1-S2=25 либо S1=S2+25. Площади подобных треугольников относятся как квадраты их сходственных сторон. S1/S2=8^2/5^2. Так как S1=S2+25, подставим и решим пропорцию: (S2+25)/S2=8^2/5^2, (S2+25)/S2=64/25, (S2+25)*25=64*S2, 25* S2+625=64* S2, (64-25)* S2=625, S2=625/(64-25), S2=625/39=16 1/39. Найдем S1, S1=S2+25, S1=625/39 + 25=(625+25*39)/39=(625+975)/39=1600/39= 41 1/39.
Ответ: 16 1/39 и 41 1/39 см 2
2. http://bit.ly/2kRRClU Пусть DC=x, тогда AC=x+3. Из прямоугольного треугольника CBD (угол BDC - прямой) выразим косинус угла BCD: cos BCD=DC/BC=x/2. Из прямоугольного треугольника ABC (угол ABC - прямой) выразим косинус угла ACB: cos ACB=BC/AC=2/(x+3). Так как одинаковы левые доли, то одинаковы и правые: x/2=2/(x+3), x*(x+3)=2*2, x^2+3*x-4=0. Квадратное уравнение решим по аксиоме Виета, получим: x1+x2=-3, x1*x2=-4. Как следует, x1=1, x2=-4. Так как величины сторон могут быть только положительными, значение -4 нам не подходит. DC=1 см.
Из прямоугольного треугольника ABC по аксиоме Пифагора обретаем катет AB. AB^2=AC^2-BC^2, AB^2=(3+1)^2-2^2=16-4=12, AB=12=23 (см).
Из прямоугольного треугольника CBD по аксиоме Пифагора обретаем катет BD. BD^2=BC^2-DC^2, BD^2=2^2-1^2=4-1=3, BD=3 (см).
Ответ: DC=1 см, AB=23 см, BD=3 см.
3. http://bit.ly/2jXxAYO Осмотрим треугольники AMD и BMC. Угол M общий, потому угол AMD равен углу BMC. Так как ABCD трапеция, то ADBC. Для прямых AD, BC и секущей AM угол MAD и угол MBC соответствующые, а означает эти углы одинаковы. Если 2 угла 1-го треугольника соответственно одинаковы двум углам иного треугольника, то такие треугольники сходственны. Как следует, треугольники AMD и BMC подобны. А у подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны. BM/AM=CM/DM=BC/AD. BC/AD=8/12=2/3, AM=AB+BM=4,5+BM, BM/(4,5+BM)=2/3, 3*BM=2*(4,5+BM), 3*BM=9+2*BM, BM=9 (см). DM=CD+CM=5,2+CM, CM/(5,2+CM)=2/3, 3*CM=2*(5,2+CM), 3*CM=10,4+2* CM, CM=10,4 (см).
Ответ: 9 и 10,4 см.