Найдите длину окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой С и

Обозначим треугольник как АВD, угол А прямой, угол D равен а, тогда угол В равен (90 а).
Тогда по аксиоме синусов:
X = АВ = С*sina.
Y = AD = C*sin(90-a) = C*cosa.

Длина окружности равна:
Р = 2**r.
Найдём радиус окружности.

Площадь треугольника через радиус:
S = r*p, r радиус, р полупериметр.
r = S/p.
С иной стороны
S = (p*(p-X)*(p-Y)*(p-C))^(1/2),
p = (X+Y+C)/2 = (С*sina + С*cosa +C)/2 = C/2 * (sina+cosa+1).
p - C = C/2 * (cosa + sina 1);
p - X = C/2 * (1 + cosa - sina);
p - Y = C/2 * (1 + sina - cosa) = C/2 * (1 (cosa - sina));
p*(p-X)*(p-Y)*(p-C) = C^4/16 * (sina+cosa+1)*(cosa + sina 1) * (1 + cosa - sina)* 1 (cosa - sina) = (C^4 / 16) * ((sina+cosa)^2 1)*(1 - (cosa - sina)^2) = (C^4 / 16) * (sin^2 a + cos^2 a + 2cosa*sina 1)*(1 cos^2 a + 2cosa*sina sin^2 a) = (C^4 / 16 * 2cosa*sina * 2cosa*sina = (C^4 / 16) * (2cosa*sina)^2;
S = (C^4 / 16 * (2cosa*sina)^2)^(1/2) = (C^2 / 4) * 2cosa*sina = (C^2*cosa*sina)/2,
r = S/p = ((C^2*cosa*sina)/2) / C/2 * (sina+cosa+1) = C* cosa*sina/(sina+cosa+1).
Таким образом, длина окружности одинакова:
Р = 2**r = 2* * C* cosa*sina/(sina+cosa+1) = * C* sin2a/(sina+cosa+1).