Дано : треугольник авс, ав=вс вд-вышина вд=9 см ас= 24 см

Радиус окружности, вписанной в треугольник, находится по формуле:
r = S/p,
где S - площадь треугольника, в который вписана окружность, р - полупериметр треугольника, в который вписана окружность.
1. В равнобедренном треугольнике высота и медиана совпадают, потому BD разделяет основание АС на два одинаковых отрезка:
AD = DC = AC/2 = 24/2 = 12 см.
2. Рассмотрим треугольник ADB: угол ADB = 90 градусов (так как ВD - высота), ВD = 9 см и AD = 12 см - катеты, АВ - гипотенуза (так как лежит против прямого угла). По аксиоме Пифагора:
АВ = (AD^2 + BD^2);
АВ = (12^2 + 9^2) = (144 + 81) = 225 = 15 (см).
АВ = ВС = 15 см.
3. Полупериметр треугольника АВС:
р = (АВ + ВС + AD)/2;
р = (15 + 15 + 24)/2 = 54/2 = 27.
Площадь треугольника АВС по формуле Герона для равнобедренного треугольника:
S = (p - b)p(p - a),
где a - основание равнобедренного треугольника, b - боковая сторона равнобедренного треугольника.
S = (27 - 15) * 27(27 - 24) = 12* 27*3 = 12*81 = 12*9 = 108 (см^2).
4. Радиус вписанной окружности:
r = 108/27 = 4 (см).
Ответ: r = 4 см.