В треугольнике АВС угол С равен 90 градусов СН-вышина АВ=34 tgA

Тангенс угла А - это отношение противолежащего катета к прилежащему, то есть:
tgA = CB/CA.
Тогда:
CB/CA = 4 (по условию).
По аксиоме Пифагора:
AB^2 = CB^2 + CA^2.
Тогда:
CB^2 + CA^2 = 34^2;
CB^2 + CA^2 = 1156.
Получаем систему уравнений:
CB/CA = 4;
CB^2 + CA^2 = 1156.
В первом уравнении выразим CB через CA и подставим приобретенное значение в 2-ое уравнение:
CB = 4CA;
(4CA)^2 + CA^2 = 1156.
Решим второе уравнение:
16CA^2 + CA^2 = 1156;
17CA^2 = 1156;
CA^2 = 1156 / 17;
CA^2 = 68;
CA = 68 условных единиц.
Каждый катет треугольника есть среднее геометрическое гипотенузы и проекции катета на гипотенузу, то есть:
CA^2 = AB*AH;
(68)^2 = 34AH;
34AH = 68;
АН = 68 / 34;
АН = 2 условных единицы.
Ответ: АН = 2 условных единицы.