В треугольнике АВС медианы АМ и ВК одинаковы 9 и 12,

Треугольник АВС, АМ = 9 - медиана ВС, ВК = 12 - медиана АС, СЕ - медиана АВ, АВ = 10. Длина медианы треугольника рассчитывается по формуле:
m = (2b^2 + 2c^2 - a^2)/2,
где а - сторона, к которой проведена медиана, b и c - иные стороны треугольника.
1. Выразим все три медианы через формулы:
АМ = (2АВ^2 + 2АС^2 - ВС^2)/2;
ВК = (2АВ^2 + 2ВС^2 - АС^2)/2;
СЕ = (2ВС^2 + 2АС^2 - АВ^2)/2.
Подставим знаменитые данные:
9 = (2*10^2 + 2АС^2 - ВС^2)/2;
12 = (2*10^2 + 2ВС^2 - АС^2)/2;
СЕ = (2ВС^2 + 2АС^2 - 10^2)/2.
2. Пусть АС = x, ВС = y, тогда получим систему уравнений с тремя неизвестными:
(200 + 2x^2 - y^2)/2 = 9;
(200 + 2y^2 - x^2)/2 = 12;
(2y^2 + 2x^2 - 100)/2 = СЕ.
3. В первом уравнении системы выразим y^2 через x^2:
(200 + 2x^2 - y^2) = 18 (по пропорции);
200 + 2x^2 - y^2 = 324;
- y^2 = 324 - 200 - 2x^2;
y^2 = 2x^2 - 124.
4. Приобретенное выражение подставим во 2-ое и третье уравнение системы:
(200 + 2(2x^2 - 124) - x^2)/2 = 12;
(2(2x^2 - 124) + 2x^2 - 100)/2 = СЕ.
Получили систему уравнений с 2-мя неизвестными:
(200 + 4x^2 - 248 - x^2)/2 = 12;
(4x^2 - 248 + 2x^2 - 100)/2 = СЕ.
Приведем подобные:
(3x^2 - 48)/2 = 12;
(6x^2 - 348)/2 = СЕ.
5. В первом уравнении системы найдем значение х:
(3x^2 - 48) = 24 (по пропорции);
3x^2 - 48 = 576;
3x^2 = 576 + 48;
3x^2 = 624;
x^2 = 624/3;
x^2 = 208.
6. Приобретенное значение подставим во 2-ое уравнение системы:
(6*208 - 348)/2 = СЕ.
Решим уравнение с одной неизвестной:
СЕ = (1248 - 348)/2;
СЕ = (900)/2;
СЕ = 30/2;
СЕ = 15.
Ответ: 3-я медиана СЕ равна 15.