В прямоугольную трапецию с основаниями а и b вписана окружность радиуса

Осмотрим прямоугольную трапецию АВСD.

Точки K, L, M, N точки касания сторон AB, BC, CD, AD с окружностью соответственно.

а нижнее основание, b верхнее основание, О центр окружности.

Тогда BL = BK = AK = AN = r, LC = CM = b r, MD = ND = a r.

Пусть ОС = х, ОD = y.

Треугольники МОС и МОD прямоугольные, так как касательная СD перпендикулярна радиусу.

Тогда,

х^2 = r^2 + (b r)^2.

(1) y^2 = r^2 + (a r)^2.

Из прямоугольного треугольника OCD:

(2) y^2 = (b + a 2 * r)^2 x^2 = (b + a 2 * r)^2 r^2 - (b r)^2.

Приравняем (1) и (2).

(b + a 2 * r)^2 r^2 - (b r)^2 = r^2 + (a r)^2;

(b + a)^2 4 * r * (b + a) + 4 * r^2 2 * r^2 = a^2 2 * a * r + r^2 + b^2 2 * b * r + r^2;

b^2 + 2 * a * b + a^2 4 * r * b 4 * r * a + 2 * r^2 = a^2 + b^2 2 * a * r 2 * b * r + 2 * r^2.

2 * a * b 2 * r * b 2 * r * a = 0.

a * b r * (b + a) = 0.

r = a * b/(b + a).