Окружность вписанная в треугольник ABC дотрагивается его сторон AB и AC

Так как АВ и АС касательные к окружности, выходящие из одной точки А, то по свойству касательных AM = AN.
Как следует, треугольник АMN равнобедренный, угол M равен углу N, а означает треугольник АMN является сходственным к треугольнику ABC.
Отсюда следует, что MN параллельно ВС.
Рассмотрим фигуру СNMB, которая является трапецией, где MN верхнее основание, а BN диагональ трапеции.
Диагональ трапеции всегда больше верхнего основания трапеции, как следует, BN gt; MN.
Подтверждено.