В треугольнике АВС, CD-биссектриса. Обосновать, что CD^2(в квадрате)=АС*СВ-АD*DB.

Обозначим ВС = а, АС = b, DB = x, AD = y.

По свойству биссектрис x/y = a/b.

Либо, x * b = a * y (1).

Пусть угол ВСD = ACD = .

Тогда по аксиоме косинусов стороны x и y запишем в виде:

x^2 = a^2 + DC^2 2 * a * DC * cos.

y^2 = b^2 + DC^2 2 * b * DC * cos.

Выразим cos в обоих уравнениях и приравняем левые доли.

Cos = (a^2 + DC^2 x^2)/(2 * a * DC).

Cos = (b^2 + DC^2 y^2)/(2 * b * DC).

(a^2 + DC^2 x^2)/(2 * a * DC) = (b^2 + DC^2 y^2)/(2 * b * DC).

(a^2 + DC^2 x^2)/a = (b^2 + DC^2 y^2)/b.

b * a^2 + b * DC^2 b * x^2 = a * b^2 + a * DC^2 a * y^2

DC^2 * (b a) = b * a * (b a) + (b * x^2 a * y^2).

Используя (1), перепишем выражение в скобках.

b * x^2 a * y^2 = (b * x) * x (a * y) * y =

= a * y * x b * x * y = y * x * (a b).

Тогда,

DC^2 * (b a) = b * a * (b a) + y * x * (a b) =

= b * a * (b a) y * x * (b a).

DC^2 = b * a y * x.

DC^2 = AC * BC AD * DB.