В треугольнике KLM длина стороны KL одинакова 27, длина биссектрисы KN

1. Одно из параметров биссектрис: биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилегающим граням, тогда:
NM/LN = KM/KL;
8/LN = KM/27.
2. Длину биссектрисы можно отыскать по формуле:
l = (ab - albl),
где a и b - стороны, прилегающие к биссектрисе, al и bl - отрезки, на которые биссектриса делит сторону с.
Тогда:
KN = (KL*KM - LN*NM);
24 = (27*KM - LN*8);
27KM - 8LN = 576.
3. Получили систему уравнений с 2-мя неизвестными:
8/LN = KM/27;
27KM - 8LN = 576.
В первом уравнении выразим KM через LN и приобретенное выражение подставим во 2-ое уравнение системы:
KM = 8*27 / LN = 216/LN.
27 * 216/LN - 8LN = 576;
Решим приобретенное уравнение с одной неведомой:
(5832 - 8LN^2)/LN = 576;
5832 - 8LN^2 = 576LN (по пропорции);
-8LN^2 - 576LN + 5832 = 0;
LN^2 +72LN - 729 = 0.
Решим приобретенное квадратное уравнение. Дискриминант:
D = b^2 - 4ac = 72^2 - 4*1*(-729) = 5184 + 2916 = 8100.
х1 = (-b + D)/2a = (-72 + 8100)/2 = (-72 + 90)/2 = 18/2 = 9.
x2 = (-b - D)/2a = (-72 - 8100)/2 = (-72 - 90)/2 = -162/2 = -81.
LN = 9, но LN не одинаково -81, так как -81 lt; 0.
Полученное значение LN = 9 подставим в первое уравнение системы уравнений и найдем значение КМ:
8/LN = KM/27;
8/9 = КМ/27;
КМ = 27*8/9 = 8*3 = 24 (см).
4. Периметр треугольника KMN:
P = KN + NM + KM;
Р = 24 + 8 + 24 = 56 (см).
Ответ: Р = 56 см.