Часть 1. 1.Какое утверждение условно треугольника со гранями 12,9,15 правильно? а)

1. Треугольник с сторонами 12, 9 и 15 прямоугольный, поэтому что:
15^2 = 12^2 + 9^2 (аксиома Пифагора);
225 = 144 + 81;
225 = 225.
Ответ: в) треугольник прямоугольный.
2. Коэффициент подобия равен:
k = a1/a2,
где а1 сторона треугольника, а2 сходственная (соответственная) сторона сходственного треугольника.
k = 2/5.
Отношение площадей сходственных треугольников одинаково квадрату коэффициента подобия:
S1/S2 = k^2,
где S1 площадь треугольника, S2 площадь подобного треугольника.
8/S2 = (2/5)^2;
8/S2 = 4/25;
S2 = 8*25 / 4;
S2 = 2*25;
S2 = 50.
Ответ: 50.
3.Радиус окружности, вписанной в треугольник, равен:
r = S/p,
где S площадь треугольника, р полупериметр.
Полупериметр равен:
р = Р/2;
р = 32/2 = 16 см.
Найдем длину боковой стороны:
Р = а + 2b;
12 + 2b = 32;
2b = 32 12;
2b = 20;
b = 20/2;
b = 10 см.
Площадь треугольника одинакова (по формуле Герона):
S = (p b)*p(p a);
S = (16 10)*16(16 12) = 6*16*4 = 664 = 6*8 = 48(см^2).
r = 48/16 = 3 (см).
Ответ: б) 3 см.
4.В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности разделяет гипотенузу на отрезки 5 см и 12 см. Найдите катеты треугольника. а)12 см и 16 см; б)7 см и 11 см; в) 10 см и 13 см; г) 8 см и 15 см.
АВС прямоугольный треугольник. Вписанная окружность дотрагивается гипотенузы АС в точке М, катета ВС в точке F, катета АВ - в точке К.
1. Воспользуемся свойством отрезков касательных, которые проведены из одной точки:
АК = АМ = 5 см;
CF = СМ = 12 см;
ВК = ВF = х см.
2. АС = АМ + СМ = 5 + 12 = 17 (см);
АВ = АК + ВК = 5 + х (см);
ВС = CF + ВF = 12 + х (см).
По аксиоме Пифагора:
АC^2 = АВ^2 + ВС^2;
(5 + х)^2 + (12 + х)^2 = 17^2;
25 + 10х + х^2 + 144 + 24х + х^2 = 289;
2х^2 + 34х -120 = 0;
х^2 + 17х 60 = 0.
По аксиоме Виета:
х1 = 3;
х2 = -20.
х2 не подходит по смыслу.
Тогда: ВК = ВF = х = 3 см, АВ = 5 + х = 5 + 3 = 8 (см), ВС = 12 + х = 12 + 3 = 15 (см).
Ответ: г) 8 см и 15 см.
5.Стороны прямоугольника равны a и k. Найдите радиус окружности, описанной около этого прямоугольника.
Радиус прямоугольника равен:
R = (a^2 + k^2) / 2.