Поперечник AB и хорда CD окружности, радиус которой равен 4 см,

http://bit.ly/2pt06pA
По условию поперечник АВ и хорда CD пересекаются под прямым углом, а из свойств хорды знаменито, что диаметр окружности, перпендикулярный хорде, делит эту хорду пополам. АВ пересекает CD в точке К, тогда отрезки СК и KD одинаковы.
Осмотрим треугольник CAD: СК = KD, АК - вышина и медиана. Если в треугольнике медиана и вышина совпадают, тогда этот треугольник равнобедренный. Как следует, АС и AD - боковые стороны равнобедренного треугольника CAD, CD - основание, а углы AСD и ADС - углы при основании. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, тогда:
угол AСD = угол ADС = х.
По аксиоме о сумме углов треугольника:
угол CAD + угол АСD + угол ADС = 180 градусов;
60 + х + х = 180;
2х = 180 - 60;
2х = 120;
х = 120/2;
х = 60.
Таким образом, угол AСD = угол ADС = х = 60 градусов.
Так как в треугольнике CAD все углы одинаковы 60 градусов, то этот треугольник равносторонний (правильный), вписанный в окружность с радиусом 4 см, тогда СА = AD = CD.
Длина радиуса окружности, описанной около правильного треугольника находится по формуле:
R = 3а / 3,
где а - сторона треугольника.
Подставим знаменитые значения:
3а / 3 = 4;
3а = 12 (по пропорции);
а = 12/3 (по пропорции);
а = 123 / 3;
а = 43.
СА = AD = CD = а = 43 см.
Ответ: CD = 43 см.