Дан остроугольный треугольник ABC. Пусть AD, CE, BM его высоты,

Возьмем остроугольный треугольник АВС с высотами АD, BM и CE. Соединим точку D с основаниями иных высот M и E. По условию задачки:

CD = DE = 7;

DM = 8;

Нужно вычислить длину стороны ВС. Зная, что CD=7, задачка, по сути, сводится к вычислению длины отрезка BD.

Свойства подобия треугольников

Два треугольника числятся сходственными, если

• отношение длин их двух подходящих стороны идиентично и углы меж ними одинаковы;
• внутренние углы одного треугольника равны углам второго треугольника;
• отношение длин всех трех сторон 1-го треугольника к длинам сторон второго треугольника идиентично.

В нашем случае, осмотрим два треугольника BED и CDM. По условиям задачки:

ЕВ = ВС cos(B), ВD = AВ cos(B);

и, как следует, ЕВ / ВD = ВС / AВ. Это значит, что треугольники BED и ABC сходственны.

Дальше, для треугольника CDM имеем:

CD = AС cos(C), MC = BC cos(C);

и, следовательно, CD / MC = AС / ВC. Это значит, что треугольники CDM и ABC сходственны.

Вычисление длины стороны ВС

Поскольку оба треугольника BED и CDM сходственны треугольнику ABC, то эти треугольники сходственны друг другу. Из этого подобия следует, что:

DЕ / ВD = CD / DM

Подставив исходные данные, получаем:

7 / ВD = 7 / 8 либо ВD = 8.

В результате получаем:

BC = CD + BD = 7 + 8 = 15

Ответ: длина стороны ВС одинакова 15.