В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4 см, высота 6

Дано:

SАВС - верная треугольная пирамида;

SO - вышина;

АВ = 4 см;

SO = 6 см.

Отыскать:

S поверхности пирамиды.

Чертеж:

http://bit.ly/2zpWMR7

Решение:

 

Отыскать площадь основания

В основании правильной треугольной пирамиды - верный (то есть равносторонний) треугольник. Чтобы отыскать его площадь, воспользуемся следующей формулой:

S = 3 a^2 / 4, где а - сторона треугольника.

В нашем случае а = 4, означает:

S основания = 3 * 4^2 / 4 = 4 3

Отыскать апофему пирамиды

Апофема пирамиды - это высота ее боковой грани. Боковые грани правильной треугольной пирамиды - равнобедренные треугольники. А означает апофема не просто вышина, а еще и медиана боковой грани.

Пусть М - середина АВ. Найдем апофему SM.

СМ - вышина и медиана треугольника АВС. По аксиоме Пифагора в треугольнике ВСМ:

СМ^2 = ВС^2 - BM^2 = 4^2 - (4/2)^2 = 16 - 4 = 12

CM = 12

Медианы в треугольнике точкой скрещения делятся в отношении 2:1. Поэтому:

ОМ = 1/3 СМ = 12 / 3

По аксиоме Пифагора в треугольнике  SOМ:

SM^2 = SO^2 + OM^2 = 6^2 + (12 / 3)^2 = 36 + 12/9 = 36 + 4/3 = 37 1/3 = 112/3

SM =  112/3 = 47/3 

Отыскать площадь боковой грани

Площадь треугольника найдем по формуле S = 1/2 ah.

S боковой грани = 1/2 * AB * SM = 1/2 * 4 * 47/3 = 87/3

Найти площадь поверхности пирамиды.

Поверхность пирамиды состоит из 4-х граней:

• основание АВС;
• боковая грань SAB;
• боковая грань SAC;
• боковая грань SCB.

Чтоб отыскать площадь поверхности, сложим площади этих треугольников:

S поверхности =  43 + 87/3 + 87/3 + 87/3 = 43 + 247/3 = 43 + 2421 / 3 = 43 + 821 

Ответ: 43 + 821  квадратных сантиметров.

 

Площадь поверхности правильной треугольной пирамиды определим как сумму площадей основания и боковой поверхности: S = Sосн + Sбок.

В основании лежит верный треугольник, его площадь определим по формуле Sосн = a23 / 4, где а - сторона основания.

Площадь боковой поверхности определим как сумму площадей боковых граней. В правильной треугольной пирамиде боковые грани представляют собой равные равнобедренные треугольники, потому Sбок = 3 * 0,5 * а * h, где а - сторона основания, h - апофема.

Апофему найдем как гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором катеты - вышина пирамиды и радиус окружности, вписанной в основание: h = (r2 + H2).

Радиус окружности, вписанной в основание, определяем по формуле: r = a / 23.

r = a / 23 = 4 / 23 = 2 / 3;

h = (r2 + H2) = (4 / 3 + 36) = (112 / 3) = 47 / 3;

Sбок = 3 * 0,5 * а * h = 3 * 4 * 47 / 23 = 247 / 3;

Sосн = a23 / 4 = 163 / 4 = 43;

S = Sосн + Sбок = 43 + 247 / 3 43,59 см2.