Найдите площадь прямоугольного треугольника если радиус описанной около него окружности равен

Пусть дан треугольник АВС.
Так как центр описанной окружности есть середина гипотенузы, означает, гипотенуза АВ = 5 * 2 = 10.

Точка прикосновения L вписанной окружности с гипотенузой разделяет гипотенузу на отрезки BL = x и AL = 2 * R x = 10 - x.
Точка прикосновения D вписанной окружности с катетом ВС разделяет катет на отрезки BД = x и DC = r = 2.
Точка прикосновения R вписанной окружности с катетом AС разделяет катет на отрезки AK = AL = 10 x и KC = r = 2.
Найдем катеты.
С одной стороны, ВС = х + r = x + 2.
С иной стороны, по аксиоме Пифагора:
ВС^2 = AB^2 AC^2 = 100 (AK + KC)^2 = 100 (10 x + 2)^2 = 100 (12 x)^2.

(х + 2)^2 = 100 (12 x)^2.
X^2 - 10 * x + 24 = 0.
(x - 5)^2 = 1.
X - 5 = 1.
X1 = 6.
X2 = 4.

Тогда один из катетов равен х + 2 = 4 + 2 = 6, а иной 10 х + 2 = 10 4 + 2 = 8.
Площадь прямоугольного треугольника
S = * BC * AC = * 6 * 8 = 24.