В треугольнике ABC угол с=90 AB=12 AC=5. Найдите синус и тангенс

Будем решать данную задачку по последующей схеме:

• найдем длину стороны ВС данного треугольника АВС;
• используя аксиому синусов, найдем синус угла при верхушке А данного треугольника АВС;
• используя знаменитое тригонометрическое тождество sin() + cos() = 1, найдем косинус угла при верхушке А данного треугольника;
• зная, чему одинаковы синус и косинус угла при верхушке А данного треугольника, найдем тангенс этого угла.

Решение задачки.

Обретаем длину стороны ВС данного треугольника АВС

Сообразно условию задачки, величина угла с в данном треугольнике составляет 90, длина стороны АВ одинакова 12, а длина стороны АС равна 5.

Как следует, данный треугольник является прямоугольным с гипотенузой АВ, равной 12 и катетом АС, одинаковым 5, и мы можем найти длину стороны ВС, используя аксиому Пифагора:

BC = (АВ - АC) = (12 - 5) = (144 - 25) = 119

Обретаем синус угла а данного треугольника АВС

Так как против угла а лежит сторона ВС данного треугольника, а против угла с лежит сторона АВ данного треугольника угла, то применяя аксиому синусов, можем записать последующее соотношение:

BC / sin(a) = AB / sin(c).

Подставляя в данное соотношение значения BC = 119, AB = 5, c = 90, получаем:

119 / sin(a) = 5 / sin(90).

Так как sin(90) = 1, получаем:

sin() = 5/119.

Обретаем косинус угла при верхушке А данного треугольника

Подставляя в известное тригонометрическое тождество sin(а) + cos(а) = 1 значение sin() = 5/119, получаем:

(5/119) + cos(а) = 1;

25/119 + cos(а) = 1;

cos(а) = 1 - 25/119;

cos(а) = 119/119 - 25/119;

cos(а) = 94/119.

Так как данный угол является острым и косинус острого угла положительный, можем записать:

cos(а) = (94/119).

Находим тангенс угла при вершине А данного треугольника

tg() = sin(а) / cos(а) = (5/119) / (94/119) = (5/119) * (119/94) = 5/94.

Ответ: sin() = 5/119, tg() = 5/94.

 

 

 

Дано: прямоугольный треугольник АВС;

угол С = 90;

AB = 12;

AC = 5.

Отыскать: sin A и tg А ?

Решение:

1) Осмотрим прямоугольный треугольник АВС.

По теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов):

АС^2 + ВС^2 = АВ^2;

5^2 + ВС^2 = 12^2;

25 + ВС^2 = 144;

ВС^2 = 144 - 25;

ВС^2 = 119;

ВС = 119;

2. Синус угла в прямоугольном треугольнике равен отношению противолежащего катета к гипотенузе. Как следует:

sin A = ВС/АВ;

sin A = 119/12.

3. tg А = ВС/АС;

tg А = 119/5.

Ответ: sin A = 119/12; tg А = 119/5.