1. Дано: ABCD - ромб, AC=2 см, угол BAC=60 градусов. Найти

1).

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2OMql2O).

Диагонали ромба делятся в точке скрещения напополам, и пересекаются под углом 90⁰. Тогда АО = АС / 2 = 2 / 1 = 1 см, а треугольник АОВ прямоугольный.

В треугольнике АОВ угол ВАО, по условию, равен 60⁰, тогда угол АВО = 180 90 60 = 30⁰.

Катет АО треугольника АВО лежит против угла 30⁰, а как следует его длина одинакова половине гипотенузы АВ. АО = АВ / 2. АВ = 2 * АО = 2 * 1 = 2 см.

Так как у ромба все стороны равны, то АВ = ВС = СД = АД = 2 см. Тогда периметр ромба АВСД равен:

Р = АВ * 4 = 2 * 4 = 8 см.

Ответ: Периметр ромба равен 8 см.

2).

Для решения осмотрим рисунок (https://bit.ly/2xLdVB7).

По условию, точки К, М, Н, Р середины сторон квадрата АВСД, тогда АВ = ВС = СД = АД.

Рассмотрим треугольники КВМ и КАР, у которых стороны ВК = ВМ = АК = АР, как следует, треугольники КВМ и КАР равнобедренные и одинаковы по двум катетам, первому подобию прямоугольных треугольников. Тогда стороны КМ = КР.

Острые углы треугольников одинаковы: КМВ = ВКМ = РКА = КРА = (180 90) / 2 = 45⁰.

Угол КМР = 180 ВКМ РКА = 180 45 45 = 90⁰.

Подобно доказываются стороны и углы четырехугольника КМНР. Если стороны четырехугольника равны, и один из углов прямой, то этот четырехугольник квадрат.

Что и требовалось обосновать.