В правильной треугольной пирамиде сторона основания одинакова 12 дм, а высота

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2uAgc0K).

Зная сторону основания равностороннего треугольника АВС вычислим площадь основания призмы.

Sосн = АВ² * 3 / 4 = 144 * 3 / 4 = 36 * 3 дм².

Тогда объем пирамиды равен: Vпир = Sосн * ДО / 3 = 36 * 3 * 10 / 3 = 120 * 3 дм³.

В равностороннем треугольнике АВС вычислим вышину СН.

СН = АВ * 3 / 2 = 12 * 3 / 2  = 6 * 3 дм. Тогда, по свойству медиан, ОН = СН / 3 = 6 * 3 / 3 = 2 * 3 дм.

В прямоугольном треугольнике ДОН, по теореме Пифагора, ДН² = ОН² + ДО² = 12 + 100 = 112.

ДН = 4 * 7 дм.

Тогда Sбок = 3 * Sавд = 3 * АВ * ДН / 2 = 3 * 12 * 4 * 7 / 2 = 72 * 7 дм².

Ответ: Объем пирамиды равен 120 * 3 дм³, Sбок = 3 * АВ * ДН / 2 дм².