в параллелограмме ABCD на гранях BC и AD Отмечены точки M

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2VoiUCz).

Докажем, что треугольник МОС равен треугольнику АОN.

Отрезки ОА и СО равны как половины диагоналей. Угол МОС равен углу АОN как вертикальные углы. Угол МСО равен углу ОАN как накрест лежащие углы при пресечении параллельных прямых ВС и АД секущей АС. Тогда треугольники МОС и АОN одинаковы по стороне и двум прилегающим углам, а тогда МС = AN.

Докажем равенство треугольников АМС и АNC. Сторона АС у треугольников общая, и мы доказали, что МС = AN, а угол МСО = OAN, тогда треугольники равны по двум граням и углу меж ними.

Тогда, в четырехугольнике АМСN сторона СМ = AN, сторона АМ = CД, а как следует четырехугольник параллелограмм по одинаковым противоположным граням, что и требовалось обосновать.