В правильной треугольной пирамиде апофема равна L и образует с вышиной

Для решения рассмотрим набросок (https://bit.ly/2YCxubg).

В правильной пирамиде точка О есть проекция верхушки Д пирамиды и центр вписанной и описанной вокруг основания АВС.

В прямоугольном треугольнике ДОН SinДСН = ОН / ДН.

ОН = ДН * SinДСН = L * Cos.

CosДСН = ОД / ДН.

ОД = ДН * CosДСН = L * Sin.

По свойству медиан треугольника длина отрезка ОС = 2 * ОН = 2 * L * Sin.

СН = ОН + ОС = 3 * L * Sin.

В равностороннем треугольнике АВС СН = АВ * 3 / 2.

АВ = 2 * СН / 3 = 6 * L * Sin / 3 = 2 * 3 * L * Sin.

Тогда Sавс = АВ * СН / 2 = (2 * 3 * L * Sin) * (3 * L * Sin) / 2 = 3 * 3 * L² * Sin².

Тогда Vпир = Sавс * ДО / 3 = (3 * 3 * L² *  Sin²) * L * Cos / 3 = 3 * L³ * Sin² * Cos см³.

Ответ: Объем пирамиды равен 3 * L³ * Sin² * Cos см³.