Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, диагональ основания которой одинакова 4 см,

Объем правильной четырехугольной пирамиды определяется как треть произведения площади основания на вышину: 

V = S_осн * h / 3. 

Основанием правильной четырехугольной пирамиды является квадрат, диагональ которого равна 4 см. Диагональ квадрата и две стороны образуют прямоугольный треугольник, потому: 

a² + a² = d²; 

a² = d² / 2 = 16 / 2 = 8. 

Площадь квадрата равна квадрату стороны, означает: 

S_осн = a² = 8 см². 

Диагонали квадрата в точке скрещения делятся напополам, вершина пирамиды проецируется в эту точку. Боковое ребро пирамиды, вышина и половина диагонали образуют прямоугольный треугольник. Угол меж боковым ребром и плоскостью основания равен 45, как следует, этот треугольник является также и равнобедренным, а значит половина диагонали основания равна вышине пирамиды: 

h = d / 2 = 4 / 2 = 2 см. 

V = S_осн * h / 3 = 8 * 2 / 3 = 16 / 3 = 5,33 см³.