Диагональ прямоугольного параллелепипеда сочиняет с одной его боковой гранью угол 30

Для решения осмотрим набросок (https://bit.ly/2MA7hCX).

Осмотрим треугольник ДА1В1. Так как А1В1 перпендикулярно плоскости АА1ДД1, то и диагональ А1Д перпендикулярна ребру А1Д1, а как следует, треугольник ДА1Д1 прямоугольный.

Катет А1В1 лежит против угла 30⁰, а как следует равен половине длины гипотенузы ДВ1.

А1В1 = ДВ1 / 2 = 12 / 2 = 6 см.

Так как АВСДА1В1С1Д1 параллелепипед, то А1В1 = Д1С1 = АВ = ДС = 6 см.

Осмотрим треугольник ДС1В1. Так как С1В1 перпендикулярно плоскости СС1Д1Д, то и диагональ ДС1 перпендикулярна ребру С1Д1, а как следует, треугольник ДС1В1 прямоугольный.

Так как, по условию, один из углов в прямоугольном треугольнике равен 45⁰, то этот треугольник равнобедренный, ДС1 = С1В1 = ДВ1 * Cos45 = 12 * 2 / 2 = 6 * 2 cм.

С1В1 = СВ = АД = А1Д1 = 6 * 2 cм.

Из прямоугольного треугольника ДСС1 определим катет СС1.

СС1² = ДС1² ДС² = (6 * 2)² 6² = 72 36 = 36.

СС1 = 36 = 6 см.

Тогда объем параллелепипеда равен: V = АД * ДС * СС1 = 6 * 2 * 6 * 6 = 216 * 2 cм³.

Ответ: Объем параллелепипеда равен 216 * 2 cм³.