Хорда окружности,одинаковая m, стягивает дугу в 120.Найдите радиус окружности

Для решения осмотрим рисунок (https://bit.ly/2zpldfh).

1-ый метод.

Так как хорда АВ стягивает дугу в 120⁰, то центральный угол, опирающийся на эту дугу так же равен 120⁰.

Из точки О, центра окружности, проведем радиусы окружности ОА и ОВ.

Так как ОА = ОВ = R, то треугольник АОВ равнобедренный. Проведем вышину ОН к основанию АВ треугольника АВС. В равнобедренном треугольнике вышина так же есть биссектриса и медиана треугольника. Тогда АН = ВН = m / 2, а угол АОН = ВОН = 120 / 2 = 60⁰.

В прямоугольном треугольнике АНО SinАОН = АН / ОА.

ОА = АН / Sin60.

ОА = (m / 2) / (3 / 2) = m / 3 см.

Второй метод.

Так как хорда АВ стягивает дугу в 120⁰, то центральный угол, опирающийся на эту дугу так же равен 120⁰.

Из точки О, центра окружности, проведем радиусы окружности ОА и ОВ.

Так как ОА = ОВ = R, то треугольник АОВ равнобедренный.

Применим аксиому косинусов для треугольника.

АВ² = ОА² + ОВ² 2 * ОА * ОВ * Cos120.

m² = R² + R² 2 * R² * (-1/2).

m² = R² + R² + R² = 3 * R².

R = m / 3 см.

Ответ: Радиус окружности равен m / 3 см.