Длины диагоналей 3-х граней прямоугольного параллелепипеда имеющие общую вершину, одинаковы 5

Введем обозначения: длины ребер параллелепипеда - а, b, с, диагонали граней параллелепипеда - d₁, d₂, d₃, диагональ параллелепипеда - D. 

Квадрат хоть какой диагонали грани равен сумме квадратов ребер этой грани. Условно можем записать систему уравнений: 

a² + b² = d₁²; 

a² + c² = d₂²; 

b² + c² = d₃². 

Складывая левые и правые части всех 3-х уравнений, получаем: 

a² + b² + a² + c² + b² + c² = d₁² + d₂² + d₃²; 

2 * (a² + b² + с²) = d₁² + d₂² + d₃². 

Знаменито, что квадрат диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов 3-х его ребер: 

a² + b² + с² = D². 

Как следует: 

2 * D² = d₁² + d₂² + d₃²; 

D² = 0,5 * (d₁² + d₂² + d₃²) = 0,5 * (5² + (213)² + (35)²) = 0,5 * (25 + 52 + 45) = 61; 

D = 61 см - разыскиваемая диагональ данного параллелепипеда.